Relativitet

Relativitet är ett relativt begrepp, eller…?

Introduktion – Relativitet

Relativitetsteorin är egentligen ett komplement i de fall där klassisk mekanik inte räcker till. Relativitetsteorin består egentligen av två delar, den allmänna och den speciella, men vi ska i detta avsnitt enbart fokusera på den speciella relativitetsteorin. I detta kapitel kommer vi att beskriva hur begrepp som tid, rum, massa, energi och rörelsemängd måste få en bättre definition i vissa fall.

Begrepp

Innan vi går in mer specifikt på den speciella relativitetsteorin finns det några termer som är bra att förstå:

Referenssystem

Detta är den experimentmiljö eller omgivning som ett föremål befinner sig i. Om du exempelvis sitter på en buss som kör är du i ett referenssystem i bussen. Den vackra kvinnan som bussen kör förbi är i ett annat referenssystem.

Tröghetssystem

Detta är ett referenssystem där de klassiska mekaniklagarna gäller. Alla tröghetssystem rör sig med konstant hastighet relativt varandra.

Mekanikens relativitetsteori

I den klassiska teorin gäller mekanikens i alla tröghetssystem. Problemet medan denna teori uppkommer om man försöker applicera lagarna på ljuset. Då kommer lagarna att ge olika värde på ljushastigheten, medan både observationer och elektromagnetiska lagar visar att ljushastigheten är konstant. Detta är väldigt motsägelsefullt och det är här relativitetsteorin är väldigt bra att ha.

Einsteins speciella relativitetsteori

Einstein kom med följande påståenden:

  1. Ljushastigheten är konstant, oberoende av hur ljuskälla och observatör rör sig gentemot varandra.
  2. Samma fysikaliska lagar gäller i alla tröghetssystem.

När Einstein kom med dessa idéer sågades de av många fysiker, eftersom de tyckte att ovanstående två postulat var motsägelsefulla.

Postulaten var dock ingen motsägelse, enligt Einstein, och han menade att vi bara behövde ändra vår syn på samtidighet, tid, längd och massa.

Tidsdilatation

Nu ska vi titta på den första konsekvensen av relativitetsteorin, nämligen tidsdilatationen.

För att påvisa tidsdilatationen ska vi ta ett exempel:

Relativitet

I bilden ovan har vi Flash Gordon(superhjälte) som åker i sitt jättesnabba rymdskepp. Rymdskeppet har hastigheten v(nära ljusets hastighet). Rymdskeppet svischar förbi den onde kejsar Ming som står utanför som alltså är i ett annat referenssystem.

Nu tänker vi oss att Flash skickar iväg en ljuspuls från golvet mot rymdskeppets tak just när han passerar kejsar Ming. Denna ljusstråle stusar då mot taket och kommer tillbaka till golvet.

Nu ska vi tittar på hur Flash och Ming uppfattar att denna ljusstråle går.

Flash Gordon:

Relativitet

Flash uppfattar det som att ljusstrålen går rakt mot taket och tillbaka. Om vi tänker oss att det tar tiden t0 för ljuset att gå från golv till tak så kommer sträckan ljuset har färdats att vara:

Relativitet

Kejsar Ming:

Relativitet

Kejsar Ming kommer att se ljusstrålen lämna golvet. Dock så kommer rymdskeppet att röra sig bort från ming samtidigt vilket kommer göra att Ming uppfattar det som att ljuset får en sned bana upp mot taket, och en sned bana tillbaka. Om vi säger att Ming tycker att tiden som det tar för ljuset att gå från golv till tak är t så är sträckan som ljuset färdats:

Relativitet

Enligt figuren bildas en rätvinklig triangel, och nu ska vi räkna på hur stor skillnad det blir mellan den tid kejsar Ming uppmäter och den tid Flash Gordon uppmäter:

Relativitet

Relativitet

Relativitet

Relativitet

Skärmavbild 2014-10-10 kl. 17.43.31

Skärmavbild 2014-10-10 kl. 17.35.31

Relativitet

Som ni ser så måste rymdskeppet gå väldigt snabbt för att tisdilatationen ska ha någon nämnvärd effekt.

En tumregel är att relativistiska lagar är relevanta om referemssystemen rör sig i förhållande till varandra med 10 % av ljusets hastghet eller mer.

Längdkontraktion

Nu har vi alltså sett att tid inte är konstant om vi upplever den från olika referenssystem. Men hur fungerar det med längd?

Jo, längden är faktiskt inte heller konstant om den upplevs från olika referenssystem där hastigheten skiljer mycket mellan systemen. Enligt en liknande härledning som för tidsdilatationen kan vi få ut följande:

Längdkontraktion

I denna formel är  längden av ett föremål enigt en betraktare i samma refernssystem som föremålet. I formeln är föremålets längd som en person i ett annat referenssystem uppfattar den.

För att göra detta enklare att förstå så återvänder vi till Flash Gordon och hans rymdskepp. Vi säger att Flash har en linjal som enligt honom är två meter lång. Vidare säger vi att rymdskeppets hastighet v är 99 % av ljusets hastighet. Hur lång tycker då kejsar Ming att linjalen är?

Längdkontraktion

I detta fall är:

Längdkontraktion
Längdkontraktion
Längdkontraktion

Ming upplever alltså linjalen som l meter.

Längdkontraktion
Längdkontraktion

Kapten Ming upplever alltså att linjalen är 4 centimeter lång!

Relativistisk rörelsemängd

Rörelsemängd är det tredje begreppet som förändras när hastighetsskillnaderna mellan olika referenssystem närmar sig ljusets hastighet.

Klassiskt kan man säga att:

Relativistisk rörelsemängd

Nu ska vi härleda en formel för den relativistiska hastigheten:

Relativistisk rörelsemängd

Relativistisk rörelsemängd är alltså derivatan med avseende på vilotiden.

Om vi nu kommer ihåg att t = λxt0 så kan man säga att:

Relativistisk rörelsemängd

Då är:

Relativistisk rörelsemängd
Relativistisk rörelsemängd

Den relativistiska rörelsemängden är alltså:

Relativistisk rörelsemängd

Relativistisk energi

Enligt relativitetsteorin är massa och energi ekvivalenter. Alla föremål har en viloenergi och om det rör sig så har det en rörelseenergi. Om föremålet rör sig nära ljushastigheten så kommer dess rörelseenergi inte kunna beskrivas på klassiskt vis. Här visar vi formlerna för rörelseenergin, viloenergin och totalenergin för föremålet.

Kinetisk energi:

Relativistisk energi

Viloenergi:

Relativistisk energi

Totalenergi:

Relativistisk energi

 

Lycka till!
/StuderaSmart

6 reaktion på “Relativitet

  1. På tidsdilatationen 1 – 0.99^2 = 0,0199
    Det man ska göra sedan är att ta roten ur 0.0199, = 0,141
    Och sedan ska man gångra detta värde med 2. Ni har alltså glömt att ta roten ur av värdet innan ni gångrar det med 2.

  2. Tack Emilia, det blev lite knasigt där. Vi ska självklart ordna till detta. Tack för din feedback och ha en fortsatt trevlig vecka!

  3. I härledningen till formeln för tidsdilation så undrar jag vart c^2 i högerledet tar vägen eftersom t0 fortfarande är dividerad med just c^2?

    • De har inte lyckats helt med härledningen och har gjort två fel (varav ett som du upptäckte) som tar ut varandra (så de har rätt svar). Här kommer den korrekta härledningen (jag börjar före deras första fel):
      t2 (c2 – v2) = c2 to2
      t2 = (c2 to2) / (c2 – v2)
      t2 = (c2 to2) / (c2 (1 – v2/c2)) (vi har nu faktorn c2 i både täljare och nämnare och förkortar bort denna)
      t2 = to2 / (1 – v2/c2)
      t = to / sqrt(1 – v2/c2) (sqrt är square root eller kvadratroot)

      • Stämmer Joel!
        Stort tack för ditt rättande. Vi har också rättat till den grodan i texten nu.
        Ha en fin helg!
        Mvh Jacob, StuderaSmart

Kommentera

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *

Följande HTML-taggar och attribut är tillåtna: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>