Geometri

Denna del av sammanfattningen handlar om geometri.

Innehåll – Geometri

1. Vinklar
2. Enhetscirkeln
3. Area-, sinus- och cosinussatsen

 


1. Vinklar

Som du förhoppningsvis vet sedan tidigare i matematik A, så kan vi med hjälp av sinus, cosinus och tangens beskriva samband mellan sidorna och vinklarna i en rätvinklig triangel.

Här får du en kort repetition:

Geometri

GeometriMotstående katet delat med hypotenusan

GeometriNärliggande katet delat med hypotenusan

GeometriMotstående katet delat med närliggande katet

 

Exempel 1:

Beräkna vinkeln mellan hypotenusan och sidan som är 4 i följande rätvinklig triangel:

Geometri

Vi testar först med cosinus, vi fyller i våra kända värden i ekvationen för cosinus:

Geometri

Vi löser ut v och får:

Geometri

Nu testar vi med sinus, på samma sätt så fyller vi i våra kända värden i ekvationen för sinus:

Geometri

Vi löser ut v och får:

Geometri

Nu testar vi slutligen med tangens, på samma sätt som tidigare så fyller vi i våra kända värden i ekvationen för tangens:

Geometri

Vi löser ut v och får:

Geometri


2. Enhetscirkeln

Cirkeln nedanför är ritad i ett koordinatsystem med cirkelns centrum i origo, radien på cirkeln är 1 längdenhet och cirkeln kallas för enhetscirkeln.

X och y koordinaten för varje punkt längst cirkeln får man genom att läsa av värdet på x- och y-axeln. Om man tänker sig en rätvinklig triangel med ena katetern längs med x-axeln:

så blir cosinus för vinkeln x-koordinaten och sinus för vinkeln y-koordinaten.

Exempel 1:

Lös ekvationen sin v = 0,5 med enhetscirkeln.

Om vi kollar på figuren nedan så framgår det att det finns två lösningar på problemet:

Första lösningen får vi genom att slå på miniräknaren:

Eftersom ett halvt varv är 180 grader så får vi den andra vinkeln genom att ta:


3. Area-, sinus- och cosinussatsen

Areasatsen


Sinussatsen

Vore det inte fint om det fanns en formel som hjälpte en att beräkna sidorna och vinklarna i en triangel då man bara vet en sida och två vinklar eller två sidor och en motstående vinkel? Finns det en sådan formel? Ja, det gör det, och den kallas sinusatsen.

Man kan använda sig av sinussatsen då följande situationer råder:

  • Då man känner till en sida och två vinklar
  • Då man känner till två sidor och en motstående vinkel

Sinussatsen bygger på att sinus för vinklarna är proportionella mot de motstående sidornas längder i en triangel. Vi får alltså detta samband: (se bild ovan)

Sinussatsen:

Exempel 1:

Beräkna sidorna a och c i triangeln ABC.

Först måste vi beräkna den tredje vinkeln, vinkeln C. Den kan vi beräkna enligt vinkelsumman för en triangel. Som ni kanske minns så är . Tillämpar vi det på triangeln ABC får vi att . Då vi har erhållit vinkeln C kan vi med hjälp av sinussatsen lösa ut sidorna. Vi får följande samband

och ur detta kan vi lösa ut båda a och c.

samt

Cosinussatsen

Jag hoppas att sinussatsen kändes ganska enkel och lättförståelig, den kommer att bli mycket användbar. Om vi nu istället skulle hamna i en sådan situation där triangelns alla sidor är kända men ingen vinkel, så kulle det dock ställa till lite problem. Den enkla lösningen på det hela är cosinussatsen, som även går att använda då vi vet två sidor och den mellanliggande vinkeln.

Cosinussatsen:


Man kan använda sig av cosinussatsen då följande situationer råder:

  • Då man känner till två sidor och en vinkel
  • Då man känner till alla tre sidorna

 

Exempel 1:

Beräkna samtliga sidor i triangeln ABC. Vi börjar med att bestämma vinkeln A med hjälp av cosinussatsen



På samma sätt räknar vi ut vinkel B:



Utifrån att vinkelsumman för en triangel är 180° kan vi nu erhålla den sista vinkeln genom att subtrahera B och C från 180. Alltså får vi


Tips!
Det underlättar om du först räknar ut motstående vinkel till den längsta sidan då du vet alla tre sidorna. Det gör du med hjälp av cosinussatsen. På det sättet får du direkt veta om vinkeln är spetsig eller trubbig. Om den är trubbig kan du så vet du att de övriga vinklarna är spetsiga, och då kan du alltså beräkna dessa med sinussatsen.

Kommentera

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *

Följande HTML-taggar och attribut är tillåtna: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>