Integraler

Här får vi en introduktion till området integraler.

Innehåll – Integraler:

1. Primitiva funktioner
2. Beräkning av integraler
3. Arean mellan två kurvor

1. Primitiva funktioner

Under kapitlet derivata så tränar vi på att ta fram derivatan till en funktion. En primitiv funktion är precis motsatsen det vill säga den ursprungliga funktionen till en derivata.

Exempel 1:

Om vi har derivatan

och ska ta fram den ursprungliga funktionen så ska vi hitta en funktion som om vi deriverar den blir derivatan som vi har ovanför.

Den ursprungliga funktion blir då

Men vad hade hänt om den ursprungliga funktionen hade sett ut så här då:

Jo derivatan hade ju blivit den samma men inte den ursprungliga. Vi måste därför lägga till en konstant när vi tar fram alla ursprungliga funktioner:

Exempel 2:

Funktionen

har derivatan

och den primitiva funktionen

2. Beräkning av integraler

När man beräknar integralen för en funktion så är det arean under grafen ner till x-axeln som man beräknar.

Här nedan så har vi grafen för funktionen y = 2x + 4

Om vi ska beräkna integralen för funktionen från x = 0 till x = 2 så är det alltså arean under grafen som vi ska beräkna.

Formeln för att beräkna det ser ut så här:

Vi ska alltså ta den primitiva funktionen för x=b och dra bort den primitiva funktionen för x = a.

Om vi då ska beräkna arean under vår graf så ser det ut så här:

Arean är alltså 12 areaenheter.

3. Arean mellan två kurvor

Exempel 1:

Beräkna arean av det området som begränsas av kurvorna y = x² och y = 1/x, x-axeln och linjen x = 3.

Området som vi ska beräkna arean av ser du här ovanför, det blåmarkerade området. Som du ser så sträcker sig området från x = 0 till x = 3. MEN, det finns två problem; det första är att kurvan 1/x inte har något värde för x = 0. Det andra problemet är att kurvan x² bara har areaområdet från x = 0 till x = 1.

För att kunna beräkna arean på detta område så måste vi dela upp den i förslagsvis två delar. Då man gör detta utgår man ifrån den punkt där kurvorna skär varandra. I detta tal är det relativt enkelt att konstatera att skärningspunkten är där x = 1:

Hade man däremot inte kunnat lösa ut skärningspunkten grafiskt så går det även att räkna ut den hel enkelt genom att sätta de båda kurvorna lika med varandra:

I alla fall, vår första areabit, nr 1, får följande uttryck:

Detta eftersom det är just x2-kurvan som området följer i intervallet 0 till 1. Vi beräknar alltså arean på det område under kurvan i intervallet 0 till 1.

Från punkten där x = 1 och framåt till x = 3 så är det kurvan 1/x som följs och därför får vi följande uttryck för dess area:

För att få fram den totala arean behöver vi alltså bara lägga ihop de båda uttrycken:

Vi skriver ut de båda primitiva funktionerna separat:

Sen är det bara att börja räkna:

Svar: Arean av området är 1.432 a.e. stort.

Då vi beräknar arean av ett visst område på en kurva så menar vi ju den yta som finns under kurvan, precis som i bilden här nedan:

Hur gör vi då när vi ska beräkna arean av det område som uppstår mellan två funktionsgrafer? (se de två bilder nedan)

Om vi jämför dessa två bilder här nedan så ser vi att det stora blå området i vänster bild har begränsats av den undre kurvan till ett mindre område.

Den begränsas av den area som finns under vår undre kurva om vi beräknar den in samma intervall som den övre.

Som ni ser i den nedre bilden så tar delar av det gula området ut delar av det blå området vilket ger oss det begränsade området. Vi behöver inte bry oss om det gula på kanterna då de inte ingår i området. Områdets intervall är ju mellan de båda skärningspunkterna.

För att räkna ut arean på detta begränsade område så måste vi alltså ta arean av den övre funktionen minus arean av den undre funktionen. Med övre och undre kurvan menas kurvornas placeringar i koordinatsystemet. Intervallet bestäms för det mesta med hjälp av beräkningar på skärningspunkterna kurvorna emellan, om inget annat anges.

Exempel 2:

Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna

och

Innan vi ställer upp integralen, som hjälper oss att räkna ut arean av området, så måste vi ta reda på i vilket intervall det gäller. Det gör vi genom att beräkna x då y=1 alltså där kurvorna skär varandra.

För att lösa ut x så byter vi först ut tecknen så att x2 blir positivt, det underlättar då vi räknar. Sedan bryter vi ut x genom faktorisering och där kan vi då se att x antingen är 0 eller 2.

Tittar vi på grafen så ser det ju ut att stämma med skärningspunkterna.

Nu kan vi alltså sätta upp vårt uttryck för area genom att ta integralen av den övre funktionen minus integralen av den undre funktionen:

Svaret blev till slut 4/3 a.e. Då man tar en integral minus en annan och det gäller samma intervall så kan man slå ihop uttrycken precis som vi gjorde här ovan. Som ni ser så tar ju +1 och -1 ut varandra och kvar blir –x² och +2x som vi gör om till en primitiv funktion och sedan sätter in integrationsgränserna och räknar fram till 4/3 a.e.