Algebra och geometri

Detta är första delen av sammanfattningen som behandlar algebra och geometri. Skoj!

Innehåll – Algebra och geometri:

1. Polynom
2. Andragradsekvationer
3. Kvadreringsreglerna
4. Geometri
5. Olikheter

1. Polynom

Ett polynom är ett uttryck som kan skrivas som summan av ett antal termer. Ett polynom som består av endast en term kallas monom, av två termer binom och av tre termer trinom. Ett polynom kan inte innehålla någon variabel i sin nämnare. Till exempel är ett trinom i variabeln x och ett binom i variabeln k. är inte ett polynom därför att variabeln k finns i uttryckets nämnare. Polynomet utgör summan av termerna , och . Talen 3,-2 och 4 kallas koefficienter. Den term som inte innehåller någon variabel kallas konstant. I polynomet är 4 en konstant term. Termens grad i ett polynom är variabelns exponent. Graden av ett polynom är exponenten i högsta gradtermen. Termerna i ett polynom ordnas efter fallande grad.

Exempel 1:

Polynomet 2a – 5a³ + 6 – a² är givet.

1. Ange varje terms grad.
2. Vilken grad har polynomet?
3. Vilka koefficienter har termerna i polynomet?
4. Ordna termerna i polynomet efter fallande grad.

Svar:

1. Termerna är: 2a, -5a³, 6 och –a².
   Termernas grader är: 1, 3, 0 (6 = 6·a⁰) respektive 2.
2. Den högsta gradtermen, -5a³, har exponenten 3, vilket ger att polynomets grad är 3.
3. Termerna 2a, -5a³, 6 och –a² har koefficienterna 2, -5, 6 respektive 1.
4. Då vi ordnar polynomet efter fallande grad får vi: -5a³–a²+2a+6.

Låt . Värdet av polynomet för ett bestämt x-värde a betecknas och är i det här fallet . Det variabelvärde, för vilket ett polynom (i en variabel) antar värdet 0, kallas polynomets nollställe. Polynomet har nollstället eftersom .

Exempel 2:

1. Bestäm då
2. Är för ?

Svar:

1. .
2. är ett nollställe för eftersom.

2. Andragradsekvationer

Då produkten a·b ska bli 0 så gäller det att åtminstone en utav faktorerna är 0. Det är en bra regel att veta om vi ska lösa en del ekvationer.

Exempel 1:

Lös ekvationen

1. (x – 3)(x – 5) = 0
2. x² – 3x = 0

Svar:

1. (x – 3)(x – 5) = 0
   Enligt regeln ovan måste åtminstone en utav parenteserna vara lika med 0, vilket ger att: (x – 3) = 0 eller (x – 5) = 0. Därför har ekvationen två lösningar, x₁ = 3 och x₂ = 5.
2.  x² – 3x = 0
   Här kan vi använda oss av faktoruppdelning; x² innehåller två stycken x och 3x innehåller en trea och ett x. 1x är gemensamt mellan de båda termerna, alltså sätter vi x framför parentesen och resten inuti parentesen: x² – 3x = 0 ⇔ x·x – 3·x = 0 ⇔ x(x – 3) = 0. x₁ = 0 eller (x – 3) = 0, vilket ger roten x₂ = 3.

1. Svar: x₁ = 3, x₂ = 5
2. Svar: x₁ = 0, x₂ = 3

Då vi ska lösa en andragradsekvation och blir tvungna att ta kvadratroten ur ett tal så får vi inte glömma att skriva så här:

Eftersom det är en andragradsekvation så har den två lösningar men vi ser bara en om vi inte sätter dit plus-minus-tecknet. Då vi kvadrerar ett negativt tal blir det ju positivt. Man kan dock aldrig ta roten ur ett negativt tal, sådana saknar lösning.

Exempel 2:

Lös ekvationen:

Vi får alltså två svar: +7 och -7, eftersom (-7) · (-7) = 49

Svar: x₁ = 7, x₂ = -7

Alla andragradsfunktioner går inte att lösa lika lätt, till hjälp har vi då ”pq-formeln”. Den löser man först och främst ekvationer som har det karakteristiska utseendet:

Ibland kan man behöva skriva om ekvationen lite så att den ser ut så här. I alla fall, de ekvationer som har detta utseende får lösningarna:

Notera att talet som slutligen bildas inuti kvadratroten inte får bli negativt.

Exempel 3:

Lös ekvationen:

Vi jämför ekvationen ovan med pq-formelns utseende och ser då att 4:an motsvara p:et och 3:an motsvarar q:et. Alltså: p = -4 och q = 3

Vi beräknar de båda värdena x kan ha genom att sätta in värdena på p och q i lösningsformeln:

Minustecknen tar ut varandra så vi får +2. -4/2 blir -2 och när vi tar -2 upphöjt till 2 får vi +4.

Svar: x₁ = 3, x₂ = 1

3. Kvadreringsreglerna

Kvadreringsreglerna är regler i algebran om hur man utvecklar uttrycken:

(första kvadreringsregeln)

(andra kvadreringsregeln)

4. Geometri

När vi räknar med vinklar och figurer så finns det en hel del satser och regler som är till för att hjälpa oss. Här sammanfattar och förklarar vi dem:

Yttervinkelsatsen

Summan av två vinklar i en triangel är lika med yttervinkeln vid det tredje hörnet:

Transversalsatsen

Om vi avdelar en triangel med ett streck som är parallell med en sida så får vi en topptriangel som är likformig med hela triangeln. Transversalsatsen säger då:

Randvinkelsatsen (periferivinkelsatsen)

Randvinkelsatsen säger att medelpunktsvinkeln (Y) till en cirkelbåge är dubbelt så stor som en randvinkel (X) som står på samma båge.

Det innebär helt enkelt att om X är 45° så kommer Y att vara dubbelt så stor dvs 90°.

5. Olikheter

Tecknen < och > kallas för olikhetstecken. Dessa använder vi då vi ska skriva olikheter t.ex. 4 < 7 (4 är mindre än 7) och 6 > 2 (6 är större än 2). Om vi skulle skriva olikheten x < 3 så skulle lösningarna på x vara alla tal som är mindre än 3. Detta går att markera ut på en tallinje.

Notera att den öppna ringen markerar att talet 3 inte är en lösning.

x ≥ 4 är också en olikhet. Det som skiljer den från de förra är att här kan x även vara lika med 4, och inte bara vara större. Det markeras i tallinjen genom att man fyller i cirkeln.

Detta får du göra när du arbetar med olikheter:
– addera och subtrahera båda leden med samma tal
– multiplicera och dividera båda leden med samma tal om talet är positivt
– multiplicera och dividera båda leden med ett negativt tal om du samtidigt vänder på olikhetstecknet

Ett exempel på reglerna ovan är: då x < 7 så måste även x-2 vara mindre än 7-2, alltså x-2 < 7-2.

Exempel 1:

Lös olikheterna:

1. 
2. 

När man ska lösa olikheter så är det inte konstigare än att lösa ekvation. Den enda skillnaden är att vi inte har ett likhetstecken, utan ett olikhetstecken. Så även fast vi ”löser ut” x så får vi aldrig ett exakt värde på det, vi vet bara att x är större än eller mindre än det tal som vi får fram. Det som är positivt är att samma regler gäller här som för vid vanlig ekvationslösning.

1. Lösning:  

Flytta över fyran till höger sida, notera att den byter tecken precis som vanligt.

2. Lösning:  

Dela x med 3 för att få fram x. Samma sak måste göras på höger sida om olikhetstecknet.

Svar:
1. x < 9
2. x > 3

Dubbelolikheter

Dubbelolikheter är då x har ett värde mellan två tal, t.ex. x har ett värde mellan 4 och 7 skrivs så här: 4 < x < 7 och den har följande lösning på tallinjen:

Att lösa en dubbelolikhet är inget svårt, särskilt inte då det bara finns x i mellanledet. Finns x däremot i fler led så måste du lösa de båda olikheterna för sig.

Exempel 2:

Lös dubbelolikheterna:

1. 
2. 

Svar:

a)
Här finns x endast i mellanledet vilket gör olikheten mycket enkel att lösa. Det vi alltid strävar efter vid ekvations-/olikhetslösningar är att få den okända variabeln, oftast x, att stå ensam så man ser vad denne har för värde.

Det innebär att vi vill ha bort -4 från mellanledet för att x ska få stå ensamt. Vi adderar därför 4 till mellanledet så att -4 och +4 tar ut varandra (=0). Kom ihåg att det du gör på den ena sidan måste du även göra på den andra sidan. Alltså tillämpar vi detta på VL och HL också.

b)
Här löser vi varje olikhet för sig först. Den första olikheten skapas av första och andra uttrycket. Den andra olikheten skapas av andra och tredje uttrycket. När vi löser dessa så vill vi har alla x över på den ena sidan.

Första:
Andra:

I och med dessa två svar så har vi 2 definitioner på x:s värde. Tillsammans bildar de en dubbelolikhet som blir vårt svar.