Matematik 1 och Ekvationer är skoj och viktigt. Här går vi igenom lite mer om begrepp som ekvationer, formler och variabler. Ha så skoj!
Innehåll – Formler, ekvationer, variabler:
1. Uttryck med variabler
2. Formler och ekvationer
3. Ekvationslösning
4. Problemlösning med ekvation
5. Skriva om formler
6. Förenkla uttryck
7. Parenteser och variabler
1. Uttryck och variabler
Uttryck med variabel
Exempel 1:
Ida är x år. Eva är två år yngre.
Teckna ett uttryck för hur gammal Eva är.
Om Ida är x år är Eva (x-2) år.
Värdet av ett uttryck
Vi har ett uttryck 3x – 5. Om vi ersätter x med talet 4, får vi 3 x 4 – 5 = 12 – 5 = 7.
Vi säger då att uttryckets värde för x = 4 är 7.
Exempel 2:
Beräkna värdet av uttrycket 3x – 2y för x = 5 och y = 4.
3x – 2y = 3 x 5 – 2 x 4 = 15 – 8 = 7
Förenkling av uttryck
Du vet att 3 + 3 + 3 + 3 = 4 x 3
På samma sätt blir x + x + x + x = 4 x x
Vad blir då 3x + 2x? Vi skriver om 3x som x + x + x och 2x som x + x och får då:
3x + 2x = x + x + x + x + x = 5x
Subtraktion kan vi genomföra på motsvarande sätt:
5x – 2x = x + x + x + x + x – (x + x) = x + x + x + x + x – x – x = 3x
Exempel 3:
Förenkla
- x + x + x + x = 4x
- 4x + 3x = 7x
- 8x – 3x = 5x
2. Formler och ekvationer
Formler
Douglas kör bil från Lidingö till Kalmar, och han håller genomsnittshastigheten 90 km/h.
Vi antar att y = sträckan i km som Douglas har kört och x = tiden i h. Enligt det mycket användbara uttrycket (minnesregeln) nedan så får man fram sträckan genom att multiplicera tiden med hastigheten.
Genom att använda detta uttryck så kan vi skapa ett samband eller, som detta stycke handlar om, en formel:
y=90x
Detta samband är alltså en formel för hur sträckan beror på den tid som Douglas har kört. Här ser vi att vänster led (till vänster om lika-med-tecknet i uttrycket) i en formel är en variabel och höger led (till höger om lika-med-tecknet i uttrycket) är ett uttryck.
Exempel 1:
Använd informationen ovan för att beräkna hur långt Douglas kommit på 2 timmar.
Här får vi alltså ett värde på x, x=2. Då är det bara att ersätta x:et i formeln med en tvåa:
Anton skulle hyra en bil av en biluthyrningsfirma där man fick betala 250 kr plus bensinkostnaden som var 10 kr/mil. Om vi tecknar ett uttryck för totalkostnaden då man kör x mil så blir det:
Ekvationer
Då Anton lämnade tillbaka bilen fick han betala 400 kr. Hur långt hade Anton kört?
För att kunna svara på detta så måste vi hitta ett värde på x så att likheten nedan blir sann:
Denna likhet är vad vi kallar för ekvation. En lösning till ekvationen är ett tal x, om ekvationens vänstra led (VL) är lika mycket som (samma värde) ekvationens högra led (HL).
Här kan vi ganska lätt se att x = 15 är en lösning. Anton hade enligt uttrycket (400-250) förbrukat bensin för 150 kr, och eftersom kostnaden för bensinen var 10 kr/mil blir körsträckan:
150/10=15
Detta kan vi lätt kontrollera genom att sätta in x = 15 i ekvationen. Detta kallas att pröva ekvationen.
3. Ekvationslösning
Nyckelordet för att lösa ekvationer är jämlikhet. Det du gör på den ena sidan måste du även göra på den andra sidan.
Ex. vill du ta -3 på vänstra sidan om likhetstecknet måste du även göra det på den högra sidan om likhetstecknet.
Exempel 1:
Lös ekvationen
a) 
b) 
a)
Dela med 3 i båda leden för att få fram x.
För att få reda på vad x är måste vi dela med 3 för att få bort trean framför x:et. Och eftersom jämlikhet ska råda så ska även höger led delas med 3.
På så vis ser vi att x = 4,5.
b)
Subtrahera båda leden med 2.
Dela med 4 i båda leden för att få fram x.
Det man alltid ska sträva efter när man löser ekvationer är att få alla x på samma sida (lämpligen vänster sida) om likhetstecknet och att de ska stå där ensamma. Konstanterna ska alltså samlas på andra sidan.
Vi börjar därför med att ta bort tvåan på vänster sida. Som ni ser så står det +2. Vi ska alltså ta -2 för att ta bort den: 2-2=0. Även här måste vi göra samma sak på båda sidorna så vi skriver också -2 på höger sida.
Kvar på vänster sida har vi 4x och kvar på höger sida har vi 16. Precis som i a-uppgiften måste vi dela 4x med, i detta fall, 4 för att bara x ska stå kvar där. Jämlikheten säger att vi också måste göra det med talet/talen som står på höger sida.
Sådär, x=4.
Svar:
a) x=4,5
b) x=4
Exempel 2:
Lös ekvationen
a) 
b) 
c) 
d) 
a)
Lägg till 5 på båda sidorna. På så vis tar femmorna i VL ut varandra.
För att få bort 8:an i nämnaren gångar vi med 8 i täljaren så åttorna tar ut varandra. För jämlikheten måste vi även multiplicera med 8 i HL.
Dela med 4 i båda leden för att få fram vad x är.
b)
Multiplicera med 4 på båda sidorna.
Ta därefter bort tvåan i VL. Dela sedan med 6 i båda leden föra att få fram x.
c)
Multiplicera med x i båda leden. Dela därefter båda leden med 2.
Det mer korrekta sättet är att skriva x = 5, därför bytte jag plats på dem. x = 5 och 5 = x är samma sak, här behöver ni inte tänka på att det blir andra tecken eller så.
d)
Multiplicera med x i båda leden. Dela därefter båda leden med 1,5.
Det mer korrekta sättet är att skriva x = 3, därför bytte jag plats på dem. x = 3 och 3 = x är samma sak, här behöver ni inte tänka på att det blir andra tecken eller så.
Notera
Dubbelpilen 
används till att markera de olika stegen, antingen använder man den eller så byter man rad. Den visar också att den omvandlingen du gör kan även göras åt andra hållet.
4. Problemlösning med ekvation
En stor del av användningsområdet med ekvationer är att lösa olika problem med hjälp av ekvationer, men det gäller att formulera problemet på rätt sätt. Det man letar efter låter man vara variabeln och sedan tar man med all information man har. När man bestämmer vad variabeln ska betyda, brukar man säga att man antar.
Ett exempel:
Douglas jobbar 7 dagar och får exakt lika mycket betalt varje dag. När han fått alla pengar köper han en tröja för 600 kr. Kvar av pengarna är 6400 kr.
Vad tjänade Douglas per dag?
7x = 6400 + 600 x: et står för lönen varje dag och det är det vi ska räkna ut.
7x = 7000
x = 7000/7 = 1000
5. Skriva om formler
Här nedan är en formel som du borde känna till. s står för sträckan, t för tiden och v för hastigheten. Många tycker att det är lättare att lösa ut en viss variabel genom att använda sig av ”triangelmetoden”.
6. Förenkla uttryck
Ibland kan ett en variabel i ett uttryck förkomma flera gånger.
Exempel 1:
Förenkla uttrycket 2x + 3y + x + 2y
För att kunna förenkla detta uttryck räknar vi alla x och y var för sig;
2x + 3y + x + 2y = x + x + y + y + y + x + y + y = 3x + 5y
7. Parenteser och variabler
En parentes ska räknas ut innan vi följer övriga prioriteringsregler, men om vi har uttrycket: 2(x+5), hur gör vi då? Vi kan ju inte räkna ut x + 5. Jo, vi kan multiplicera 2 med både x och 5 innan vi går vidare. Vi jämför med en vanlig parentes:
Båda metoderna ger samma resultat. Alltså är:
När vi multiplicerar en parentes med ett tal, ska varje term i parentesen multipliceras med talet. Det kallas för att multiplicera in i parentesen. Men vi kan också gå åt andra hållet:
(3x + 9) Den uppmärksamme ser att det här det samma som:
(3•x + 3•3) Och då kan du skriva det som:
3(x + 3) Det här kallas för att bryta ut faktorn 3.
Att bryta ut och multiplicera in är användbara metoder när man förenkla och förkorta uttryck. Men när vi ska förenkla måste vi förr eller senare ta bort parentesen och då finns saker att ta hänsyn till. Återigen blir det enklast om vi tittar på lite exempel:
8 – (5+2) = 8 – 7 = 1 Vad skulle hända om vi tog bort parentesen innan vi räknade ut 5 + 2?
8 – 5 – 2 = 3 -2 = 1 Vi ser att vi måste ändra tecken i parentesen för att få samma resultat.
7 + (5 – 3) = 7 + 2 = 9 Vad händer nu då, när vi ta bort parentesen?
7 + 5 -3 = 12 – 3 = 9 Här måste vi behålla tecknet i parentesen för att resultatet ska förbli 9.
Detta är exempel på två enkla, men viktiga, regler:
En parentes med minustecken framför kan bara tas bort om man samtidigt ändrar tecken inuti parentesen.
En parentes med plustecken framför kan tas bort utan att ändra tecken.