Ekvationer och funktioner

Denna del av sammanfattningen behandlar ekvationer och funktioner.

Innehåll – Ekvationer och funktioner:

1. Förstagradsekvationer
2. Andragradsekvationer
3. Andra typer av ekvationer
4. Faktorisering
5. Polynom och rationella uttryck
6. Räta linjens ekvation
7. Andragradsfunktioner

1. Förstagradsekvationer

En ekvation är ett matematiskt uttryck som innehåller ett vänsterled (VL) och ett högerled (HL). Ekvation betyder på latin “likhet” och beskriver att två matematiska objekt på varsin sida om likhetstecknet är varandras motsvarigheter. Vänster led är samma sak som höger led, bara formulerat och beskrivet på ett annat sätt. I grundskolan räknar man med ekvationer där de ingående komponenterna är tal.

I högstadiet behandlar man även ekvationer då vissa av de ingående komponenterna är okända tal. (Eller i alla fall beskriver man det okända talet mer tydligt, genom att nämna det med en bokstav – till exempel x.)

I gymnasiet räknar man med ekvationer där de ingående komponenterna är tal, variabler och funktioner. En variabel är ett okänt tal som kan variera. Man kan alltså sätta in olika värden och därmed få olika resultat.

I detta exempel är x inte en variabel utan endast en okänd konstant. Det finns endast ett tal som passar in så att VL = HL:

I detta exempel är x en variabel eftersom HL inte är definierat som ett konstant objekt utan det finns oändligt med lösningar:

Vi kan även se y som en variabel. x och y är båda okända tal, som varierar beroende på varandras värden.

En ekvation som innehåller variabler kan alltid beskrivas som en funktion. En funktion har samma uppbyggnad men betecknas annorlunda och beskrivs ofta genom en graf.

Ovanstående funktion utläses “F som en funktion av x”. Det är inte så stor skillnad mellan en funktion, och en ekvation med variabler. Det man vill betona med en funktion av nyss nämnda slag, är att det är x som är den huvudsakliga variabeln. Det är x-värdet som vi har och kan ange, och som vi kan sätta in i uttrycket – och det är f(x), det vill säga motsvarigheten till y, som vi får ut som ett resultat. Vi vill också betona att x inte är en okänd konstant utan att det verkligen är en variabel.

Innan vi går vidare med funktioner och grafer ska vi först repetera några viktiga regler som används för att förenkla ekvationer och göra dem mer lättlösliga.

	Distributiva lagen
	Parentesmultiplikation
	Konjugatregeln
	Första kvadreringsregeln
	Andra kvadreringsregeln

Vi ska räkna ett exempel där några av dessa regler behöver tillämpas för att förenkla uttrycket och lösa ekvationen:

2. Andragradsekvationer

Andragradsekvationer kallas sådana ekvationer som har polynom av grad 2 alltså x2. Dessa kan lösas antingen som man löser en vanlig ekvation dvs. lös ut x, eller genom pq-formeln:

där p och q är konstanter.

är den karakteristiska ekvationen för att lösningen på x ska bli möjlig.

Till exempel så måste x² alltså stå ”ensamt”. Det får alltså inte vara 2x² + 2 + 4 = 0, för då fungerar inte formeln. Detta kan man dock enkelt lösa genom att dividera alla led med 2 i detta exempel, för att sedan kunna använda formeln.

Exempel 1:

3. Andra typer av ekvationer

Som vi ser så är det ganska lätt att lösa en andragradsekvation när det ena ledet är en produkt av förstagradspolynom och det andra 0. Jag kan glädja er med att detta fungerar även för ekvationer med högre grad.

Exempel 1:

Lös ekvationen

Den här ekvationen består av tre faktorer: x, (x+4) och (x+3) och är då en tredjegradare, vilket innebär att den har tre lösningar. Eftersom produkten är noll innebär det att någon utav dessa tre faktorer är lika med noll. Då sätter vi helt enkelt varje faktor lika med noll, vilket ger oss lösningarna:

Svar:

Exempel 2:

Lös ekvationen

Här samlar vi först alla x på ena sidan och bryter sedan ut x-termen, alltså gör vi en faktoruppdelning

Även här så måste någon av faktorerna vara lika med noll då produkten är noll.

Svar:

Rotekvationer

Rotekvationer kallas sådana ekvationer som har det obekanta talet under rottecknet. Då man löser rotekvationer måste man kvadrera, vilket bidrar till att den nybildade ekvationen inte är lika med den förra ekvationen. Detta medför, då ekvationen är löst, att man har en falsk rot. Den falska roten upptäcks genom prövning, man testar om svaret är rätt genom att sätta in det i den ursprungliga ekvationen.

Exempel 3:

Lös ekvationen “Ekvationer och funktioner”

Börja med en förenkling:

Låt rottecknet stå själv på ena sidan och kvadrera sedan talen på båda sidorna. x-1 fås av att “roten ur” är samma sak som “upphöjt i 0,5” och när vi sedan kvadrerar så blir det en multiplikation av potenserna 0,5 ·2 = 1, alltså . Notera också att vi använder pilen ⇒ vid kvadreringen. Den betyder ”medför att”.

Nu gör vi om ekvationen så vi kan lösa den med pq-formeln:

Nu ska vi avslöja den falska roten genom att testa de båda svaren i den ursprungliga ekvationen

Prövning ger:

HL = 5, VL = HL.

HL = 2, VL ≠ HL

Svar:

Att lösa rotekvationer med substitution

Substitution betyder i detta fall ”ersätta”, vilket är det perfekta ordet för det vi just nu ska göra. För att förklara denna metod behövs ett exempel.

Exempel 4:

Lös ekvationen

Om vi istället säger att där (vi ersätter ‘roten ur x’ med ‘u’) så får vi automatiskt att

Ursprungsekvationen ser då ut så här istället:

Om vi sedan flyttar över sexan till andra sidan av likhetstecknet så har vi en andragradsekvation som vi lätt kan lösa med PQ-formlen!

ger oss eftersom .

duger inte eftersom vi ställde villkoret att u skulle vara större än noll i början.

Svar:
Obs! Mycket viktigt att komma ihåg att svara med x och inte u, vilket många tenderar att glömma!

4. Faktorisering

Vi ska också gå igenom en andragradsekvation som saknar q-värde, men innan det ska vi gå igenom vad som menas med faktorisering. Studera följande exempel:

Vi multiplicerar som vanligt:

Vi kan också göra detta omvänt. Genom att identifiera det som är gemensamt för alla termer så kan vi “bryta ut” detta. Vi kan bryta ut hur mycket som helst, så länge som det är gemensamt för alla termer, det vill säga att alla termer är jämnt delbara med det. Detta kallas för faktorisering. Det blir mycket lättare att förstå genom följande exempel:

Med hjälp av faktorisering kan vi få mycket hjälp när vi ska förenkla olika uttryck, eller lösa ekvationer:

5. Polynom och rationella uttryck

Ett polynom är en summa av termer som har formen där a är en konstant, x är variabeln och n är ett naturligt tal (positivt heltal). Polynomets grad baseras på det största värdet n antar. a får dock inte vara lika med noll eftersom:

Ett exempel på ett polynom är:

Detta är ett andragradspolynom eftersom 2 är det största värdet på n.

Kvadreringsreglerna och konjugatregeln

Dessa regler stötte vi på i avsnittet om algebra och jag kan lova att de är väldigt användbara i många sammanhang. Vi repeterar dem:

Första kvadreringsregeln:
Andra kvadreringsregeln:
Konjugatregeln:

Då vi ska förenkla summor av bråkuttryck så gäller det att hitta den minsta gemensamma nämnaren, mgn.

Förenkling av rationella uttryck

När mgn (minsta gemensamma nämnaren) ska bestämmas tar man med varje faktor så många gånger som den finns i störst antal i någon nämnare.

Exempel 1:

Vi delar upp nämnarna i deras olika faktorer, se ovan. Där ser vi att det finns två faktorer nämligen 2:an och 5:an. Det största antalet 2:or ser vi i det andra bråkets nämnare, alltså 5 stycken. Största antalet 5:or ser vi i första bråkets nämnare, alltså en 5:a. För att räkna ut mgn tar vi alltså och multiplicerar de 5 tvåorna med varandra och gångar sedan detta med 5:an. Mgn blir då lika med 160. För att våra två bråk ska få 160 som nämnare så multiplicerar vi dem med varsitt lämpligt tal.

Det första bråket behöver multipliceras med 8 (20 · 8 = 160) och det andra bråket behöver multipliceras med 5 (32 · 5 = 160). Täljarna ska också multipliceras med det tal som deras nämnare multipliceras med.

När bråken väl fått samma nämnare så är det bara att lägga ihop täljarna och där har vi svaret. Var noga med att du ska svara i den enklaste formen så kolla alltid ifall bråket går att förkorta. Dock är det inte så i detta fall.

Faktoruppdelning

Då man gör en faktoruppdelning så bryter man ut de gemensamma faktorerna som finns i talen. För att kunna se dem är det viktigt att man tittar på innehållet.

Exempel 2:

Har man riktigt tur så kan man även stöta på sådana tal som gör att man kan använda en utav de två kvadreringsreglerna eller konjugatregeln.

Exempel 3:

Så här gör vi när vi delar upp ett uttryck i faktorer:

Bryt först ut de faktorer som är gemensamma för alla termer.

Om polynomet har två termer:
…undersök om du kan använda konjugatregeln.

Om polynomet har tre termer:
…undersök om du kan använda en utav kvadreringsreglerna.

Exempel 4:

I detta exempel ersätter vi helt enkelt x med det som står inuti parentesen hos f.

6. Räta linjens ekvation

När man tar in på ett hotell kostar varje natt en viss summa pengar, låt säga 500 kr:

Om vi betecknar antal nätter med x och den totala kostnaden med y får vi:

Om vi utöver nattavgiften även vill använda hotellets SPA-avdelning så kan vi anta att en extra avgift på 250 kr tillkommer:

Denna ekvation följer en mall som kallas för räta linjens ekvation. Det är en klassisk funktion, där vi stoppar in ett värde (x) och får ut ett annat (y). Funktionen kallas för räta linjens ekvation, därför att om man ritar in funktionen i en graf så kommer det att bli en rät linje. Vi ska visa detta genom att sätta in några värden i ett koordinatsystem och sedan sammanbinda dessa med en linje. Följande tabell visar vad den totala kostnaden blir i 3 olika fall (2 nätter, 3 nätter och 5 nätter):

När man skriver y(2) så menar man att man att man har en funktion där man undersöker vad y blir om x = 2. I generella fall brukar man skriva:

eller

Om man sedan vill sätta in olika värden på x så betecknar man funktionen just genom att sätta in ett värde på samtliga x-platser.

Om man vill vara extra tydlig kan man även skriva:

Koordinaterna sätts nu in i ett koordinatsystem, och vi ser att vi får en rät linje.

Eftersom vi kan sätta in ett oändligt antal koordinater, så kommer vi få massor av punkter som alla ligger efter samma linje. Denna linje motsvaras av just ekvationen:

Formeln för räta linjens ekvation lyder:

Alla funktioner som följer detta mönster bildar en rät linje. Det som kommer skilja linjerna åt är lutningen och läget. Lutningen betecknas med ett k, som står för koefficient. I vår exempel-funktion så är k-värdet 500. Läget betecknas med ett m. m är det värde på y-axeln där linjen skär denna. m-värdet i vår exempel-funktion är 250.

I koordinatsystemet nedan har en ny funktion ritats in. Genom att studera linjen kan vi räkna ut linjens ekvation. Eftersom linjen är rak, så vet vi att ekvationen följer uppbyggnaden för “linjens ekvation”.

Vi saknar k- och m-värdet. Vi ska börja med att räkna ut linjens lutning, det vill säga k-värdet.

K-värdet beräknas med hjälp av följande formel:

Genom att ta två koordinater och beräkna skillnaden i y-led mellan dessa och dividera med skillnaden i x-led mellan punkterna, så får vi k-värdet:

Skillnaden i y-led:

Skillnaden i x-led:

K-värdet blir följaktligen:

Slutligen ska vi ta reda på m-värdet. Vi ska alltså bara läsa av var linjen skär y-axeln, vilket är i y = 1.

Nu har vi alla ingående element i ekvationen. Linjen i koordinatsystemet har alltså ekvationen:

Nu ska vi rita in en extra funktioner i koordinatsystemet:

Den nya funktionen har inget m-värde utskrivet, utan det är noll. Precis som förväntat skär linjen till ekvationen genom origo, där y = 0. Lägg märke till att de båda funktionerna är parallella. Eftersom båda funktionerna har samma k-värde, har de också samma lutning, vilket just medför parallellitet.

I följande koordinatsystem har ytterligare en funktion ritats in:

Denna simpla funktion har vare sig k-värde eller m-värde utskrivna, men de finns dolda. Koefficienten för x är 1 och m-värdet är noll.

I nästa exempel har en fjärde funktion ritats in:

Denna funktion har inget k-värde eller x-värde, utan endast ett m-värde (m = 2). Som vi ser så skär linjen y-axeln i just y = 2. Eftersom det inte finns något x-värde så kan det heller inte existera någon koefficient till x. k-värdet är alltså lika med noll. Om k-värdet är noll, så betyder det att det inte finns någon lutning.

Slutligen så har en femte funktion ritats in:

Notera hur både k-värde och m-värde är negativa. Då k-värdet är negativt blir även lutningen negativ och följaktligen är linjen fallande. m-värdet skär y-axeln i y = -3 som sig bör.

En linje med ekvationen x = 2 kan inte skrivas enligt formeln för linjens ekvation. I ett koordinatsystem är linjen förvisso rät, men den saknar både lutning (k-värde) och skärning med y-axeln (m-värde):

Eftersom x endast har ett värde så kan något y-värde inte definieras. Linjen blir parallell med y-axeln.

7. Andragradsfunktioner

De två vanligaste och enklaste andragradspolynomer är y = x² och y = -x². Då man adderar ett positivt eller ett negativt tal till dessa funktioner så vet vi ju att de kommer att förflytta sig i höjdled.

Dessa kurvor är symmetriska och följer i detta fall y-axeln, man säger då att y-axeln är en symmetrilinje till kurvorna.

Exempel 1:

Detta exempel är hämtat ur Gleerups Delta Matematik Kurs C.

Ett litet företag kan tillverka 200 väskor per månad. Kostnaden varje månad för att tillverka x väskor är K(x) = 1000 + 5x. Intäkten varje månad är I(x) = 75x -0,4x². Hur många väskor måste tillverkas per månad för att intäkten ska bli större än kostnaden?

Lösning

Vi skriver in olikheten 75x – 0,4x² > 1000 + 5x som y = 75x – 0,4x² och y = 1000 + 5x i en grafräknare och får då grafen:

Bilden visar att intäkten är större än kostnaden för x-värden mellan 16 och 159 st, alltså de punkter där kurvorna skär varandra.
Vi har tidigare sett att en andragradsekvation har 2 rötter, 1 rot eller ingen rot alls. Detta blir förtydligat om vi nu även kan studera funktionerna grafiskt.

I en vanlig andragradsekvation med två rötter kan vi tydligt se noll-värdena (De punkter på x-axeln då y = 0, det vill säga de värden som vi räknar ut när vi löser en ekvation):

Vi kan även se om en ekvation bara har en rot:

Eftersom kurvan tangerar x-axeln, så finns det bara en punkt på kurvan då y=0. Här ser vi att nollstället är x = 1. Detta kan kontrolleras algebraiskt:

Slutligen ska vi illustrera hur en funktion utan rötter ser ut grafiskt:

Vi kan tydligt se att kurvan inte skär x-axeln alls. Det finns inget nollvärde (där y = 0). Det saknas reell lösning.