Exponentialfunktion

Denna del handlar om en ny typ av funktioner, nämligen exponentialfunktioner.

Innehåll – Exponentialfunktioner:

1. Potensregler
2. Talföljder
3. Exponentialfunktioners grafer
4. 10-logaritmer
5. Logaritmlagar

1. Potensregler

Exempel 1:

Då man ska skriva ‘upphöjt till’ på miniräknaren kan knappen se ut på två sätt: x^y eller ^

Ekvationen x^a = b

Denna ekvation kan man stöta på lite varstans, t.ex. i en sådan här uppgift:

Priset på en digitalkamera sjönk från 5000 till 3000 kr på 3 år. Med hur många procent har priset minskat i genomsnitt per år?

Ändringsfaktorn, som vi ska räkna ut, betecknar vi med x. Då får vi ekvationen för hur mycket kameran kostade efter 3 år.

Sedan är det bara att använda sig av följande samband:

Vi har ekvationen 5000x³ = 3000. Först kan vi börja med att göra x helt ensamt på vänster sida.

Som vi ser i sambanden ovan så är x lika med b upphöjt till 1 delat med det tal som x tidigare var upphöjt med. Alltså blir

Ändringsfaktorn blir 0,84, alltså det nya priset för varje år är 84% av det föregående årets pris. För att få fram sänkningen per år i procent får vi ta 100 % – 84 % = 16 %.

Digitalkamerans pris sjönk alltså med ca 16 % per år.

Exempel 2:

En stads befolkning ökade på 18 år från 20200 till 38400. Beräkna den genomsnittliga årliga procentuella ökningen. Återigen betecknar vi ändringsfaktorn som x och vi får då följande ekvation:

Ändringsfaktorn i detta fall blir talet 1,04 vilket innebär en ökning på 4 %.

Exempel 3:

Det finns även ett annat samband som motiverar hur vi löser dessa två exempel:

Här ser vi tydligt att om talet x är upphöjt med t.ex. 7 så kan vi bara ta svaret upphöjt till en sjundedel så vet vi direkt vilket tal x står för. Denna kunskap om att skriva om tal kan vara till god nytta ibland.

Notera att vi inte skriver en tvåa framför kvadratroten då det gäller x2 eftersom kvadratroten i sig betyder redan att vi räknar ut det tal man tar upphöjt med två.

2. Talföljder

Aritmetisk talföljd

Betrakta talföljden nedan

10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40

Talföljden kallas aritmetisk eftersom talen hela tiden ökar lika mycket, i detta fall med två.

Det första talet 10, kallar man a₁, det andra talet a₂ osv…

Det n:te talet i en aritmetisk talföljd = det första talet + (antalet termer -1) · differensen:

a_n = a₁ + (n – 1) · d

Nu skall vi räkna ut summan av denna talföljd, det vill säga vad är:

10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40?

Exempel 1:

Beräkna summan av den aritmetiska talföljden:

10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40

Den generella formeln för att lösa detta problem är

n = antal termer

Sn = summan

a₁ = det första talet, dvs. 10

a_n = det sista talet, dvs. 40

Summan av dessa tal i den aritmetiska talföljden är alltså 400

Geometrisk talföljd

Betrakta talföljden nedan:

5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560

Talföljden är geometrisk eftersom kvoten mellan två närliggande tal är konstant, vi kommer från ett tal till nästa genom att multiplicera med 2.

Allmänt gäller att det n:te talet i en geometrisk talföljd = det första talet · kvoten upphöjt till (antalet tal – 1):

Exempel 2:

Beräkna summan av den geometriska talföljden: 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560

3. Exponentialfunktioners grafer

En funktion av typen: f(x) = 2^x kallas en exponentialfunktion.

Det som utmärker en exponentialfunktion är att den oberoende variabeln (x) är exponent.

Allmänt skriver man exponentialfunktionen:

Exempel 1:

Figuren visar grafen till funktionen f(x) = 2^x

Värdetabell:

Funktionen är växande

Exempel 2:

Figuren visar kurvan: y = 3^-x

det vill säga grafen till funktionen f(x) = 3^-x

Värdetabell:

Funktionen är avtagande

Exempel 3:

Figuren visar kurvan: y = 10^x

det vill säga grafen till funktionen f(x) = 10^x

Värdetabell:

Funktionen är växande

4. 10-logaritmer

Alla positiva tal kan skrivas som ett potensuttryck med basen 10:

Talet	1000	kan skrivas	103
Talet	100	kan skrivas	102
Talet	10	kan skrivas	101
Talet	1	kan skrivas	100
Talet	0,1	kan skrivas	10-1

Här är en viktig definition:

Exempel 1:

10-logaritmen för talet 1000 är 3 eftersom 1000 = 10³

Beteckningen för “10-logaritm” är lg (eller ibland log)

“10-logaritmen för talet 1000 är 3” skrivs lg 1000 = 3

Helt allmänt kan vi uttrycka oss så här:

Om a = 10^b så är b = lg a

Faktum är att de båda likheterna a = 10^b och b = lg a uttrycker exakt samma sak.

Då två utsagor uttrycker exakt samma sak brukar man tala om ekvivalens i matematiken.

Det finns en matematisk symbol för ekvivalens. Den ser ut så här: ⇔ (en dubbelriktad pil)

Uttal: “är ekvivalent med”

Vi kan nu definiera begreppet 10-logaritm så här:

Alla positiva tal kan skrivas som ett potensuttryck med basen 10

Den exponent som vi upphöjer 10 till kallar vi talets 10-logaritm.

Kort sagt: a = 10^{log a}

Exempel 2:

Skriv talet 2 som en potens med basen 10. Svara i exakt form

Svar: 2 = 10^{lg 2}

Exempel 3:

Skriv 2^x som en potens med basen 10. Svara i exakt form.

2^x = (10^lg2)^x = 10^x·lg2

Svar: 2^x = 10^x·lg2

5. Logaritmlagar

Exempel 1:

Förenkla så långt som möjligt.

a)
Här har vi använt oss av den första regeln.

b)

(I b-uppgiften tar vi först hänsyn till regeln eftersom multiplikation går före addition. Sedan använder vi oss av regeln )