Derivata

Denna del av sammanfattningen handlar om derivata. Ett rätt stort moment i kursen så lägg gärna ner lite extra tid på det. Ha skoj!

Innehåll – Derivata:

1. Ökning och minskning
2. En kurvas tangent
3. Gränsvärde
4. Derivatans h-definition
5. Deriveringsregler
6. Tangentens lutning
7. Derivatans graf
8. Andraderivatan
9. Ett vanligt problem

1. Ökning och minskning

Exempel 1:

Diagrammet ovan visat hur antalet bakterier y i en kultur ändras under x antal timmar. Beräkna den genomsnittshastighet med vilken antalet bakterier ändras i tidsintervallet.

Lösning:

Genomsnittshastigheten är samma sak som riktningskoefficienten till den linje som är dragen mellan de två punkterna A och B som visar tidsintervallet. Då vi vet punkternas koordinater så kan vi räkna ut genomsnittshastigheten/riktningskoefficienten med hjälp av formeln:

Genomsnittshastigheten är alltså 1000 bakterier/h.

Ett negativt k-värde, riktningskoefficient, innebär en minskning.

2. En kurvas tangent

Tangenten är den linje som bildas då man tittar på lutningen i en viss punkt på en kurva. Eftersom vi vet hur man beräknar k-värdet på en linjär funktion, kan vi få fram ett ungefärligt värde genom att göra som bilderna nedan visar, dvs. att välja ut två punkter så nära varandra som möjligt på kurvan, för att sedan använda oss av enpunktsformeln för att få ett så exakt svar som möjligt.

Mer exakta metoder om hur man kan räkna ut en kurvas tangent tas upp senare.

3. Gränsvärde

En tangent är alltså en linje som snuddar kurvan “endast” i punkten (b) och därmed redovisar hur kurvan lutar i just denna punkt. En sådan tangentens k-värde kallas för gränsvärde eller derivata. När vi vill uttrycka gränsvärdet för (b) så skriver vi:

lim står för det latinska ordet “limes” som betyder “gräns”. Vi kan alltså säga att detta uttryck hör ihop med k-värdet för sista figuren i stycke 2.2, medan uttrycket

hör ihop med:

Det finns ett kortare sätt att beskriva gränsvärdet för (b).

f’ (2) uttalas “f prim 2” eller “derivatan för x = 2”. Nu ska vi titta på grafen till funktionen:

Nu ska vi räkna ut gränsvärdet i punkten (b) det vill säga i x = -2:

Formeln för detta gränsvärde är:

Vi kan inte utan vidare sätta in x = -2 i denna formel, för det skulle ju innebära att vi försöker beräkna en lutning mellan (b) och (b). Vi kan naturligtvis inte använda samma punkt två gånger i formeln för k-värde. Om vi ändå försöker detta ser vi att nämnaren blir lika med 0 och uttrycket blir inte definierat.

För att beräkna detta måste vi faktorisera uttrycket och förkorta det. Vi börjar med att beräkna f(-2).

f(-2) beräknas:

f'(2) blir följaktligen:

Gränsvärdet för -2, det vill säga kurvans k-värde då x går mot -2, är -2.

Så vad är nu skillnaden på f(x) och f’ (x) i praktiken? Följande graf visar hur ett föremål stiger upp i luften:

Om vi studerar punkten (2,1)

f(2) är föremålets höjd vid tiden x = 2.

f’ (2) är föremålets höjdändring vid tiden x = 2

4. Derivatans h-definition

• Punkten A har x-koordinaten a och y-koordinaten f(a)
• Punkten B ligger i x-led h längdenheter från A
• Punkten B har x-koordinaterna a+h och y-koordinaterna f(a+h)
• Differenskvoten är alltså vilket kan förenklas till

Om vi nu låter punkten B närma sig den högra punkten, går h mot noll:

h → 0, kommer vi få ett mer sant k-värde, lutningen i punkten A.

Detta skrivs;

Detta uttryck kallas för derivatans h-definition:

5. Deriveringsregler

Som tur är behöver du inte alltid använda derivatans h-definition varje gång du ska derivera (räkna ut gränsvärden) en funktion. Det finns “snabb”-regler som kan härledas utifrån h-definitionen. Vi ska nu härleda några nyttiga regler.

6. Tangentens lutning

En tangent till en kurva kan ge oss olika information. Beroende på hur tangenten lutar, kommer den ha olika k-värden.

Punkten (a) har koordinaten (-1, 2) och har en tangent som är avtagande. K-värdet/derivatan är positivt.

Punkten (b) har koordinaten (1, 2) och har en tangent som är växande. K-värdet/derivatan är negativt.

Punkten (c) har koordinaten (0,1) och har en tangent som är helt horisontell. K-värdet/derivatan är noll.

Nu till det intressanta – Vad innebär det om vi har en kurva i vilken vi har identifierat en punkt som har derivatan noll? Jo, det betyder att punktens tangent är helt horisontell, vilket denna endast kan ha om vi är högst upp på en topp (maximipunkt), längst ner i en dal (minimipunkt) eller på en “terrass” (terrasspunkt). Dessa punkter kallas för extremvärden. En terrasspunkt är en punkt som på båda sidor om sig har en växande kurva, eller på båda sidor har en avtagande kurva.

Exempel 1:

I denna graf är (a) ett maximivärde och (b) ett minimivärde. Vi kan tämligen enkelt beräkna dessa värdens koordinater:

Eftersom det är extremvärden vi söker, vet vi att tangenterna är utan lutning – derivatan i dessa punkter är lika med noll:

Vi behöver därför derivera funktionen och sätta VL = 0:

Nu har vi två x-värden för extrempunkterna. Sätter vi in dessa x-värden i f(x) får vi också ut y-koordinaterna:

Det ena extremvärdet (b), minimipunkten, är i (0,2)

Det andra extremvärdet (a), maximipunkten, är i (-1.3 , 3.2)

Exempel 2:

a) I vilka intervall är funktionen växande?

En växande kurva har en derivata som är större än noll. Om vi börjar med att hitta extremvärden så kan vi därefter använda teckenstudium:

Vi hittade bara ett extremvärde, i x = 0,5. Vi vet ännu inte om det är maximi-, minimi-, eller terrassvärde eller var i y-led det befinner sig.

Nu ska vi testa sätta in ett x-värde > 0,5 för att se hur lutningen ser ut till höger om extremvärdet. Det kan endast vara en typ av lutning på varje sida, annars hade vi hittat fler extremvärden:

Derivatan är positiv i x = 1. Kurvan är med andra ord växande till höger om x = 0,5.

Vi gör likadant med ett x-värde < 0,5 för att se hur kurvan ser ut till vänster om extremvärdet:

Derivatan är negativ i x = 0. Kurvan är med andra ord avtagande till vänster om x = 0,5.

Vi har nu tillräckligt med information för att säga att kurvan ser ut som en glad mun, som har ett minimivärde i x=0,5. Kurvan är växande för intervallet:

b) Bestäm kurvans nollställen, samt minimipunktens placering.

Det kan vara lätt att röra ihop nollställen med extremvärden. I ett extremvärde är derivatan 0 – och i ett nollställe är y = 0. Om vi börjar med att sätta f(x) = 0 så kommer vi att få nollställena, det vill säga där kurvan skär x-axeln. Det här är inga nyheter:

Minimipunktens x-koordinat har vi redan beräknat i (a). Allt vi behöver nu är y-koordinaten. Vad gör vi om vi har ett x-värde och vill ha ut ett y-värde? Sätter in i f(x) såklart:

Minimipunktens koordinater är (0,5 , -2,25)

Exempel 3:

Bestäm funktionens största och minsta värde inom intervallet:

Vi börjar med att identifiera extremvärdena:

Notera att -1 ligger utanför intervallet i frågan. Detta extremvärde kan inte vara del i svaret. Men för övrigt har vi två punkter som eventuellt är maximipunkter och så även eventuellt högsta värdet. Vi har ett extremvärde som ligger någonstans i x = 0 och ett som ligger någonstans efter x = 1. Vi beräknar punkternas y-värden:

Härefter går vi vidare med teckenstudium. För säkerhets skull ska vi identifiera hela kurvan, även den del av kurva som är utanför intervallet. Vi testar att sätta in ett x som är mindre än x = -1, ett x som är -1 < 0, ett x som är 0 < 1, samt ett x som är till höger om x = 1:

Vi får alltså en kurva som ser ut enligt följande graf:

Nu får vi se upp innan så att vi inte råkar säga att största värdet är f(0), bara för att vi hade en maximipunkt där. Frågan sökte det största värdet inom intervallet:

Eftersom kurvan är växande till höger om extrempunkten (1,-1), så måste vi kontrollera hur högt största värdet är inom intervallet:

Inom detta intervall är högsta värdet är naturligtvis i x = 2. Vi beräknar f(2) och kollar om det blir större än f(0) (Vilket vi ser i kurvan att det kommer vara):

Här har vi hittat det största värdet: Högsta värdet inom intervallet är y = 8 (i punkten x = 2)

7. Derivatans graf

Om vi har funktionen:

blir derivatan:

I en funktion kan man sätta in oändligt antal värden på x, och få ut olika y-värden. Funktionen kan beskrivas med en graf:

Detsamma gäller i derivatans funktion. Man kan mäta lutningen på oändligt antal tangenter till f(x) och på så sätt få ut olika gränsvärden. Vi ska nu också rita in grafen till f'(x) = 2x:

Nu ska vi studera dessa grafer. Vi kan börja med att notera ett minimivärde i (0, -2). I ett minimivärde vet vi att derivatan är 0. Om vi nu studerar derivatakurvan i x = 0 så ser vi att f'(0) = 0. Derivatakurvan bekräftar alltså för oss att derivatan är 0 i x = 0.

I x = 2 kan vi se att kurvan är växande. Derivatan är med andra ord positiv i denna punkt. Studerar vi derivatans graf i x = 2 så läser vi av f'(2) = 4. Derivatan är alltså 4 i x = 2.

I x = -1 kan vi se att kurvan är avtagande. Derivatan är negativ positiv i denna punkt. Studerar vi derivatans graf i x = -1 så läser vi av f'(-1) = -2. Derivatan är alltså -2 i x = -1.

8. Andraderivatan

Andraderivatan innebär att man deriverar en funktion två gånger.

Om andraderivatan är positiv för det aktuella extremvärdet är det ett minimivärde.

f'(x) > 0 – minimipunkt

Om andraderivatan är negativ är det ett maximivärde.

f'(x) < 0 – maximipunkt

Är andraderivatan lika med noll, är extremvärdet en terrasspunkt.

f'(x) = 0 – terrasspunkt

Vi testar att sätta in det aktuella extremvärdets x i andraderivatan:

Exempel 1:

f(x) = 3×2 + 5x + 2
f'(x) = 6x + 5
f”(x) = 6
f”(0) = 0

Detta är alltså en terrasspunkt.

9. Ett vanligt problem

En tekniker behöver en behållare att ha vatten i och tänker tillverka en från en plåtbit som är 60 cm lång och 40 cm bred. Hon tänker sköra bort fyra hörnbitar och vika upp de bildade kanter enligt figuren nedan:

Eftersom materialet är dyrt vill hon endast tillverka en behållare och vill att den ska rymma så mycket vatten som möjligt (minst 8 liter). Vilken höjd h cm ska hon välja så att volymen blir så stor som möjligt? Vilka dimensioner och vilken volym får behållaren då?

Lösning:

Lådan får längden cm, bredden cm samt höjden h cm. Detta ger volymen som en funktion av höjden enligt formeln

där V ger volymen i kubikcentimeter.

Vi deriverar volymfunktionen och söker de h-värden som ger .

Enligt figuren finns de tillåtna h-värdena i intervallet (om blir bredden 0 cm). Roten h1 är således ogiltig. Är ett maximi- eller minimivärde? Vi undersöker andraderivatan.

Extremvärdet är följaktligen ett maximivärde. Vi får således den största volymen om höjden är . Detta ger längden samt bredden . Volymen blir .

Svar:

Behållaren får högst volym om höjden är 7,8 cm. Då blir längden 44,3 cm och bredden 24,3 cm. Den erhållna volymen är 8,45 dm3. (Behållaren rymmer alltså något mer än kravet på 8 liter.)