Cirkulär rörelse / Periodisk rörelse

En cirkulär rörelse är en rörelse som cirkulerar runt en central punkt. Vår sammanfattning tar upp det du behöver veta om cirkulära/periodiska rörelser.

Inledning – Cirkulär rörelse

Det finns fyra saker att komma ihåg vid en cirkulär rörelse

1. Hastigheten v är alltid riktad längs tangentens riktning.
2. Accelerationen a_c är alltid riktad mot rörelsens centrum och kallas för centripetalacceleration.
3. Den kraft som orsakar accelerationen kallas centripetalkraft, den betecknas Fc och är alltid riktad mot rörelsens centrum.
4. Centripetalkraften är ingen egen kraft utan resultanten av andra verkande krafter.

Viktiga formler vid cirkulär rörelse:

Andra bra beteckningar och formler:

Perioden (T) är omloppstiden i den cirkulära rörelsen, mäts i sekunder(s)

Frekvensen (f) är hur många varv föremålet i den cirkulära rörelsen hinner snurra på en sekund, mäts i Hertz(Hz).

Dessutom brukar man använda termen vinkelhastighet(ω) vid cirkulär rörelse. Det är hur många radianer föremålet i rörelsen hinner snurra på en sekund.

Vidare gäller även:

Som du märker är det många formler att kunna för att behärska cirkulära rörelser men de är inte så särskilt svåra att förstå.

Experiment

Vi tar en hink och häller lite vatten i botten. Sedan snurrar vi den i en vertikal cirkel. Vi observerar att vattnet stannar kvar på botten i hinken även när hinken är upp och ner om vi snurrar tillräckligt fort.

Vad beror detta på? Högst upp i cirkeln påverkar vattnet hinken med en kraft riktad uppåt, samtidigt påverkar hinken vattnet med en lika stor kraft riktad neråt, en så kallad normalkraft(F_N). Dessutom påverkas vattnet av gravitationen(mg) som också är riktad neråt.

Centripetalkraften är just i denna stund när hinken är högst upp i sin bana resultanten av normalkraften och gravitationen.

F_c = F_N + mg

Så länge normalkraften(eller egentligen dess motkraft, men den är lika tor som normalkraften) trycker vattnet upp mot hinken faller inte vattnet, sänks hastigheten däremot så minskar centripetalkraften, normalkraften närmar sig noll och experimentutförarna blir blöta.

---

Keplers lagar

Kepler var en vetenskapsman som konstruerade tre kända astronomiska lagar:

1. Alla planeter rör sig i elliptiska banor med solen som ena brännpunkten.
2. Om  så är areorna A1 och A2 lika vilket innebär att hastigheten ökar ju närmare man kommer brännpunkten i banan.
3. Om  så är , denna konstant gäller för alla planeter i ett och samma solsystem.

---

Allmänna gravitationslagen

Kraften F som verkar mellan två kroppar kan beskrivas på följande vis:

G = 6,67×10^-11
m₁ och m₂ är de bägge kropparnas massor
r är avståndet mellan dem

Räkneexempel

Vi har en satellit med massan m som rör sig runt jorden med konstant fart. Avståndet från satelliten till jordytan är 1500 km och jorden väger 5,97×10²⁴ kg.

Med vilken fart rör sig satelliten runt jorden?

Lösning

Detta är ett typiskt exempel där två föremål påverkar varandra med en kraft. Alltså kan allmänna gravitationslagen användas. Dessutom så är detta en centralrörelse, därför kan formeln  också användas för att beskriva kraften.

Det går alltså att likställa allmänna gravitationslagen och formeln för centripetalkraft på följande vis:

(M är jordens massa)

Med förenklingar är:

Genom att dra roten ur detta får vi v fritt:

Med insatta värden får vi:

Svar: 7100 m/s (kom ihåg att r är avståndet till satelliten plus jordens radie)

Observera att vi inte behövde veta satellitens vikt för att få fram svaret. Det spelar alltså ingen roll vad satelliten väger.

---

Harmonisk svängningsrörelse – en typ av cirkulär rörelse

Nu har vi istället en fjäder med en tyngd på som sätts i rörelse. Se bilden nedan:

I denna bild är 0 jämviktsläget som som tyngden ligger vid när den inte är i rörelse. Elongationen (hur tyngden ligger jämfört med jämviktsläget) är y i figuren och amplituden är A.

Nedan ska vi visa hur det kan komma sig att denna rörelse också beter sig som en centralrörelse:

Med omskrivning ger detta:

Då är kan farten v beskrivas på följande vis:

Då kan rörelsens acceleration beskrivas som nedan:

Ni som är smarta inser då säkert att maximala hastigheten inträffar när cos(ωt) = 1 och v_max således är ωA. Detta sker vid passering av jämviktsläget.

På samma sätt är a_max lika med ω²A. Detta sker vid vändlägena.

Jaha, nu vet vi alltså att en harmonisk svängningsrörelse beter sig som en centralrörelse. Vi har även sett hur hur vi kan räkna på läge, fart, och acceleration för föremål som utför den harmoniska svängningsrörelsen.

Men hur stor är kraften?

F = ma (detta gäller liksom alltid för föremål i rörelse)

Om a = -ω²y så är

F = -mω²y = -ky (k är fjäderkonstanten som alltså är unik för varje harmonisk svängningsrörelse)

Detta är en återförande kraft som alltid är riktad mot jämviktsläget.

Sammanfattning:

y = A x sin(ωt)

F = -mω²y

---

Svängningsenergi

Nu undrar ni förstås hur svängningens energi beror av hur mycket vi drar i tyngden. Det vil säga vilken amplitud svängningen får. Vi tänker inte härleda detta här men formeln ger vi gärna:

Här är alltså k lika med fjäderkonstanten som är en unik konstant för varje harmonisk svängningsrörelse.

---

Pendelrörelse

Denna rörelse beter sig också som en centralrörelse, se animationen:

Även här kan man räkna på en del, viktigast är perioden T.

Perioden T i en plan pendelrörelse:

Ibland har vi dock en konisk pendelrörelse, då ser formeln ut såhär: